Trojuholníky

Trojuholník je rovinný útvar, ktorý pozostáva z troch rôznobežných strán, ktoré sa spájajú v troch spoločných bodoch. Môžeme ho tiež definovať ako prienik troch polrovín.

Vlastnosti všeobecného trojuholníka:

• má tri strany (a, b, c), ktoré sa spájajú v troch spoločných bodoch = vrcholy trojuholníka (A, B, C)

• má tri vnútorné uhly a 6 vonkajších uhlov

• vnútorné uhly majú súčet 180°

• súčet dĺžok dvoch ľubovoľných strán musí byť väčší ako dĺžka tretej strany

• rozdiel dĺžok dvoch ľubovoľných strán musí byť menší ako tretia strana

• zhodnosť trojuholníkov – sss, sus, ssu, usu

• obsah trojuholníka vypočítame ako polovica súčinu strany a výšky a obvod ako súčet všetkých troch strán

• jednoznačné určenie trojuholníka je splnené, ak sú splnené nasledujúce body:

• Strana a dva priľahlé uhly (ich súčet musí byť menší ako 180°)

• Dve strany a dutý uhol nimi zovretý

• Dve strany a uhol oproti väčšej strane

• Tri strany, pre ktoré platí: |a – b| < c < |a + b|

Ostatné vlastnosti sa odvíjajú od konkrétneho typu trojuholníka

Uhly v trojuholníku

• vnútorné – sú uhly nachádzajúce za vo vnútri trojuholníka pri jednotlivých vrcholoch trojuholníka. Ich grafickým súčtom je priamy uhol (180°)

• vonkajšie – sú susedné uhly k vnútorným uhlom trojuholníka (viď. obrázok). Vonkajšie uhly trojuholníka nachádzajúce sa pri jednom bode sú zhodné. Ďalej platí, že súčet vonkajšieho a vnútorného uhla prislúchajúcim jednému vrcholu tvoria priamy uhol. Ak máme v trojuholníku uhly α, β, γ, tak vonkajší uhol pri vrchole A α’ = β + γ

α = α‘ β = β‘ γ = γ‘

α + α‘ tiež β + β‘ tiež γ + γ‘ = 180°

α’ = β + γ

Klasifikácia trojuholníkov podľa

1. veľkosti strán

1. • rovnostranný – má všetky tri strany rovnaké

   • rovnoramenný – má dve strany rovnaké, to sú tzv. ramená a tretia strana, ktorú nazývame základňa je rozdielna.

1. • rôznostranný – všetky strany rôzne. Pri rôznostranných trojuholníkoch musí platiť trojuholníková nerovnosť, t.j. platí:

     • grafický súčet každých dvoch strán trojuholníka je väčší ako tretia strana

       • c + b > a

       • c + a > b

       • a + b > c

     • grafický rozdiel každých dvoch strán trojuholníka je menší ako tretia strana

       • c - a < b

       • c - b < a

       • b - a < c

2.  veľkosti uhlov

1. • ostrouhlý – má všetky tri uhly menšie ako 90°

   • pravouhlý – jeden uhol má veľkosť 90° a dva uhly sú ostré

   • tupouhlý – má jeden uhol väčší ako 90° súčasne však menší ako 180° a dva ostré 

V praxi sa používajú nasledovné vety o podobnosti trojuholníkov:

1. Veta sss

Dva trojuholníky sú podobné, ak pomery dĺžok každých dvoch odpovedajúcich si strán sa rovnajú.

2. Veta sus

Dva trojuholníky sú podobné, ak sú rovnaké pomery dĺžok príslušných strán a ak sú zhodné uhly, ktoré tieto strany zvierajú.

3. Veta uu

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa zhodujú v dvoch vnútorných uhloch.

4. Veta Ssu

Dva trojuholníky sú podobné, ak sa rovnajú pomery dĺžok dvoch strán a ak sa rovnajú veľkosti uhlov oproti väčšej z nich.