SČITOVANIE MOCNÍN:
Mocninu an vyjadrujeme ako súčin n rovnakých čísel
Mocniny tak ako iné čísla vieme sčítavať aj odčítavať. Musíme si ale zapamätať jednu jedinú vec, a to že:
!!! Sčítavať a odčítavať môžeme iba tie mocniny, ktoré majú rovnaký základ a rovnaký exponent. !!!
Zjednodušte nasledujúce výrazy:
a) 2x3 + 5x2 + 3x3 + 3x2 = 2x3 + 3x3 + 5x2 + 3x2 = 5x3 + 8x2
· ako prvé si dáme k sebe výrazy s rovnakým základom a exponentom- teda x3 a x3 a následne ich spočítame. Nakoniec vidíme, že 5x3 a 8x2 nemôžeme spočítať aj napriek tomu, že majú rovnaký základ, nemajú rovnaký exponent.
b) 5 + 3a7 + 11b9 + 8b9 + 7a7 + 11 + 5a7 = (5 + 11) + (3a7 + 7a7 + 5a7 ) + (11b9 + 8b9 ) = =16+ 15a7 + 19b9
- v príklade si podčiarkneme výrazy s rovnakým základom a rovnakým exponentom, potom mocninu opíšem a spočítam ich koeficienty. Po prepočítaní niekoľkých príkladov, vieme takéto jednoduché príklady riešiť v hlave tak, že prostredný krok vynecháme.
ODČITOVANIE MOCNÍN
3ax - 5bn - 2ax - 3bn = 3ax - 2ax - 5bn - 3bn = ax - 8bn
· na vzorovom príklade si môžeme všimnúť, že podobne ako pri sčítavaní i tu - pri odčítavaní dávame k sebe iba tie výrazy, ktoré majú rovnaký základ a aj exponent. Potom mocninu opíšeme a koeficienty odčítame.
Zjednodušte nasledujúci výraz:
5m3 – 21m4 – 7m3 = 5m3– 7m3– 21m4 = -2 m3– 21m4
· v tomto príklade sa síce nachádzajú rovnaké základy – m, ale rôzne exponenty, teda odčítať môžeme tie ktoré majú rovnaké exponenty- m3.
DRUHÁ A TRETIA MOCNINA
Definícia: Zápis an(čítame „a na n-tú“), kde a ∈ R, n ∈ N, sa nazýva n -tá mocnina čísla.
Číslo a sa nazýva základ mocniny a n sa nazýva exponent (mocniteľ).
DRUHÁ MOCNINA:
Druhá mocnina je veľmi jednoduchá.
Ak chceme vypočítať, napr. 102, tak stačí vedieť, že vždy treba pridať dvojnásobný počet núl, takže 100.
Ak chceme zase vypočítať, napr. 0,0012, tak tu treba vedieť, že treba pridať dvojnásobný počet desatinných miest, takže 0,0001.
Preskúšajte sa č. 1:
1. 202=
2. 302=
3. 502=
4. 10002=
5. 0,32=
6. 0,252=
Príklady typu 52, 22, 122, 142,...., 202 sa počítajú ako 5x5,2x2, 12x12, 14x14.....20x20.
Tieto čísla treba vedieť iba naspamäť. Ak ich chcete čo najrýchlejšie vedieť počítať a nezdržovať sa, tak sa ich treba iba ,,nabifľiť".
Preskúšajte sa č.2:
1. 52=
2. 122=
3. 162=
4. 182=
5. 202=
6. 32=
ALE POZOR!!!
Ak chcete vypočítať 20,30,...., 560,..atď., tak si zapamätajte, že vždy čokoľvek na mocninu 0 je 1!!!
TRETIA MOCNINA:
Ak chceme vypočítať, napr. 103, tak stačí vedieť, že vždy treba pridať trojnásobný počet núl, takže 1000.
Ak chceme zase vypočítať, napr. 0,013, tak tu treba vedieť, že treba pridať trojnásobný počet desatinných miest, takže 0,000001.
Ale: 123= 12x12x12=144x12= 1728!
Zase ak ide o takéto zložitejšíe čísla, treba sa ich iba naučiť.
Rozdiel medzi 123 a (-12)3:
123= 1728
(-12)3= -1728
AK JE EXPONENT PÁRNY, VÝSLEDOK UMOCŇOVANIA JE KLADNÉ ČÍSLO!
AK JE EXPONENT NEPÁRNY, VÝSLEDOK UMOCŇOVANIA JE ZÁPORNÉ ČÍSLO!
Preskúšajte sa č. 3:
1. (-5)3=
2. 0,53=
3. 1003=
4. 303=
5. 53=
6. (-3)3=
VÝSLEDKY ÚLOH PRESKÚŠAJTE SA:
Č.1: Č.2: Č.3:
1. 400 1. 25 1. -125
2. 900 2. 144 2. 0,125
3. 2500 3. 256 3. 1 000 000
4. 1000 000 4. 324 4. 27 000
5. 0,09 5. 400 5. 125
6. 0,0625 6. 9 6. - 27
I. Násobenie mocnín
Pre násobenie mocnín musí platiť, že dané mocninové výrazy majú rovnaký základ. Exponenty môžu byť rôzne. Preto hovoríme o násobení mocnín s rovnakým základom. Pre takéto násobenie platí vzťah:
am . an = am+n
Mocniny s rovnakým základom násobíme tak, že základ umocníme súčtom exponentov.
Pr.: Upravte nasledujúci výraz
1. 22 . 23 =
· Tento príklad vypočítame pomocou vzorca pre násobenie mocnín s rovnakým základom, keďže v príklade je rovnaký základ 2
22 . 23 = 22+3 = 25
Nasledujúce príklady už riešime iba pomocou vzorca, a to buď rozpisovaním riešenia alebo spamäti.
2. x11 . y3 . x9 . Y23 =
I. rozpísaním
x11 . y3 . x9 . y23 = x11 . x9. y3 . y23 = x11+9 . y3+23 = x20 . Y26
· pri rozpisovaní si najprv dáme k sebe výrazy s rovnakým základom, potom základ opíšeme a exponenty spočítame
II. spamäti
x11 . y3 . x9 . y23 = x20 . y26
· pri počítaní spamäti si druhý a tretí krok urobíme v hlave a hneď dostaneme výsledok.
Po prepočítaní niekoľkých príkladov budete takéto príklady riešiť spamäti.
3. (a-4)4 . (a-4)9 = (a-4)4+9 = (a-4)13
4. 4.x2y5z8 . 5x6y2z3 = 20x2+6y5+2z8+3 = 20x8y7z11
II. Delenie mocnín
Pre delenie mocnín musí platiť, že dané mocninové výrazy majú rovnaký základ. Exponenty môžu byť rôzne. Preto hovoríme o delení mocnín s rovnakým základom. Pre takéto delenie platí vzťah:
1. ak m > n, am : an = am-n , m, n є N; a ≠ 0
2. ak m < n, am : an = 1 / am-n , m, n є N; a ≠ 0
Mocniny s rovnakým základom delíme tak, že základ umocníme rozdielom exponentov.
Pr. Upravte nasledujúce výrazy
1. 33 : 32 =
· ak si vyčíslime dané mocniny dostávame 27 : 9 = 3, teda 33 : 32 = 3
· ak budeme postupovať podľa vzorca, potom dostaneme
33 : 32 = 33-2 = 31 = 3
Podľa toho vidíme, že vzorec naozaj funguje a preto budeme postupovať podľa neho.
a) 12a3 : 6a = 2 .a3-1 = 2a2
b) (5x - 3b)4 : (5x - 3b)2 = (5x - 3b)4-2 = (5x - 3b)2
c) 8a6b : 4a7b6 =
· rozpísaním:
8a6b : 4a7b6 = 8:4 a6-7b1-6 = 2a-1b-5 = 2/ab5
· spamäti:
8a6b : 4a7b6 = 2a-1b-5= 2/ab5
16a2b3c : 12a3b4c = 16/12.a2-3 b3-4 c1-1 = 4/3.a-1b-1c0 = 4/3 . (a-1b-1 ) = 4/(3a1b1)
V tomto príklade sa nám objavila nultá mocnina, preto si musíme zapamätať ďalší vzťah a0 = 1
e) 16z2 (2x+y) : [4z5(2x+y)3] = 4z2-5(2x+y)1-3 = 4y-3(2x+y)-2 = 4/y3(2x+y)2
f) 32a11 : 8b11 = 4a11b11
- v tomto príklade aj napriek rovnakým exponentom, nemáme rovnaký základ, preto dané mocniny nevieme vydeliť. Môžeme vydeliť iba čísla.
(S)
Odmocniny
Odmocňovanie je operácia, ktorá je protikladná k umocňovaniu. Všeobecné označenie odmocnín je , kde X je kladné číslo alebo nula.
Odmocnina sa nedá urobiť z každého čísla, v obore reálnych čísel neexistuje napríklad odmocnina zo záporného čísla
-
√6.4= √(64.10-1) = √(82.10-1)
-
√56 = √(4*14) = √(22*14)
-
√0.49 = √(49.10-2) = √(72.10-2)
(K)